Форма входа
0/0
Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис
- Дата:06.10.2025
- Категория: Научные и научно-популярные книги / Математика
- Название: Математика. Утрата определенности.
- Автор: Клайн Морис
- Просмотров:0
- Комментариев:0
Уважаемые читатели!
Тут можно читать бесплатно Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн книги без регистрации и SMS на сайте Knigi-online.info (книги онлайн) или прочесть краткое содержание, описание, предисловие (аннотацию) от автора и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Описание онлайн-книги Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис:
Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире. Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.
Аудиокнига "Математика. Утрата определенности."
📚 "Математика. Утрата определенности" - это увлекательное путешествие в мир математики, наполненное загадками и неожиданными открытиями. Главный герой книги, *Морис Клайн*, расскажет вам о том, как математика помогает нам понять окружающий мир и какие тайны скрывает в себе каждая формула.
В этой аудиокниге вы найдете ответы на множество вопросов, которые касаются математики, ее истории и применения в современном мире. *Морис Клайн* проведет вас через лабиринты чисел и символов, раскроет перед вами тайны геометрии и алгебры, поможет понять, как математика влияет на нашу повседневную жизнь.
🎧 Сайт knigi-online.info предлагает вам возможность бесплатно и без регистрации слушать аудиокниги онлайн на русском языке. Здесь собраны бестселлеры и лучшие произведения различных жанров, включая *Математику. Утрата определенности* Мориса Клайна.
Об авторе:
🖋 *Морис Клайн* - известный математик, преподаватель и популяризатор науки. Его книги о математике стали бестселлерами благодаря ясному изложению сложных тем и увлекательному стилю. Клайн прославился своими работами по истории математики и ее философским аспектам.
Не упустите возможность окунуться в увлекательный мир математики вместе с аудиокнигой *Математика. Утрата определенности.* Слушайте и погружайтесь в мир знаний!
🔗 Ссылка на категорию аудиокниги: Математика
Читем онлайн Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис
Шрифт:
-
+
Интервал:
-
+
Закладка:
Сделать
Постепенно математики приняли неевклидову геометрию и вытекавшие из ее существования выводы о границах истинности геометрии; однако это произошло отнюдь не потому, что кому-то удалось каким-то образом подкрепить аргументы в пользу применимости неевклидовой геометрии к физическому пространству. Скорее всего неевклидова геометрия была принята по той простой причине, о которой на заре XX в. говорил создатель квантовой механики Макс Планк: «Новая научная истина побеждает не потому, что ее противники убеждаются в ее правильности и прозревают, а лишь по той причине, что противники постепенно вымирают, а новое поколение усваивает эту истину буквально с молоком матери».
В вопросе об истинности всей математики в целом некоторые математики встали на сторону Гаусса. Они считали, что истина кроется в числах, составляющих основу арифметики, алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, а также высших разделов математического анализа. Карлу Густаву Якоби (1804-1850) принадлежит высказывание: «Бог всегда арифметизует». {55}В отличие от Платона Якоби не считал, что бог вечно геометризует.
То, что математикам удалось отвести смертельную опасность, приняв за абсолютную истину разделы математики, основанные на понятии числа, по-видимому, имело в середине XIX в. несравненно более далеко идущие последствия и было более жизненно важным для науки, чем существование нескольких геометрий. К сожалению, математике предстояло пережить новые потрясения. И чтобы разобраться в их истоках, нам придется вернуться немного назад.
Понятие вектораматематики широко использовали начиная с XVI в. {56}Вектор, обычно изображаемый в виде направленного отрезка, обладает направлением и величиной (рис. 4.5). Он используется для описания таких физических величин, как сила, скорость и другие, которые характеризуются величиной и направлением. Векторы, лежащие в одной плоскости, можно комбинировать геометрически, производя над ними обычные операции сложения и вычитания и получая некий результирующий вектор.
Рис. 4.5.Вектор.
В том же XVI в. в математике появились комплексные числа, т.е. числа вида а + bi, где i = √−1, а аи b— вещественные числа. Даже математики считали комплексные числа весьма загадочными. Поэтому, когда около 1800 г. несколько математиков [Каспар Вессель (1745-1818), Жан Робер Арган (1786-1822) и Гаусс] поняли, что комплексным числам можно сопоставить направленные отрезки на плоскости (рис. 4.6), их открытие стало подлинной сенсацией. Эти математики сразу же осознали, что комплексные числа можно использовать не только для представления векторов на плоскости, но и для выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления векторов.
Рис. 4.6.Геометрическое представление комплексных чисел.
Иначе говоря, комплексные числа позволяют представить векторную алгебру, подобно тому как целые и дробные числа позволяют представить, например, коммерческую сделку. Следовательно, вместо того чтобы производить операции над векторами геометрически, их можно осуществлять алгебраически. Так, сложение двух векторов OAи OB(рис. 4.7) по правилу параллелограмма приводит к сумме, или результирующему вектору ОС.Ту же операцию можно выполнить алгебраически, представив вектор OAкомплексным числом 3 + 2i,а вектор OB— комплексным числом 2 + 4i.Сумма этих комплексных чисел (комплексное число 5 + 6i) соответствует результирующему вектору ОС.
Рис. 4.7.Сложение комплексных чисел по правилу параллелограмма.
К 30-м годам XIX в. идея использования комплексных чисел для представления векторов на плоскости и выполнения операций над ними получила достаточно широкое распространение. Но если на тело действуют несколько сил, то эти силы и представляющие их векторы не обязательно должны лежать в одной и той же плоскости — и даже обычно не лежат в ней. Условимся для удобства называть обычные вещественные числа одномерными, а комплексные — двумерными.Тогда для представления пространственных векторов и выполнения операций над ними было бы естественно ввести «трехмерные» числа. Как и в случае комплексных чисел, допустимые операции над трехмерными числами должны были бы включать сложение, вычитание, умножение и деление. Для того, чтобы над этими числами можно было беспрепятственно и эффективно производить алгебраические операции, они должны обладать обычными свойствами вещественных и комплексных чисел. Так, математики принялись за поиски «трехмерных комплексных чисел».
Над решением этой проблемы бились многие. Полезный пространственный аналог комплексных чисел предложил в 1843 г. Уильям Роуан Гамильтон. Пятнадцать лет он непрестанно размышлял над этой проблемой. Умножение всех известных к тому времени чисел обладало свойством коммутативности,т.е. всегда было ab = ba, —и Гамильтон вполне естественно полагал, что трехмерные, или трехкомпонентные, числа также должны обладать этим свойством, равно как и другими свойствами вещественных и комплексных чисел. Гамильтону удалось добиться успеха лишь ценой двух компромиссов: во-первых, его новые числа обладали четырьмя компонентами, а не тремя, как ему первоначально хотелось, и, во-вторых, ему пришлось пожертвовать свойством коммутативности умножения (сохранив, однако, ассоциативность:для любых трех кватернионов p, qи rвсегда (pq)r = p(qr)). Оба необычных свойства введенных Гамильтоном чисел произвели подлинный переворот в алгебре. Гамильтон назвал найденные им новые числа кватернионами.
Если комплексное число представимо в виде а + bi, где i = √−1, то кватернион — это число, представимое в виде
a + bi + cj + dk,
где i, jи kобладают таким же свойством, как и √−1, т.е.
i 2 = j 2= k 2= −1.
Два кватерниона равны в том и только том случае, если попарно равны коэффициенты a, b, cи dв представлениях этих чисел. При сложении двух кватернионов суммы соответствующих коэффициентов образуют новые коэффициенты. Таким образом, сумма двух кватернионов сама также является кватернионом. Чтобы определить умножение кватернионов, Гамильтону пришлось задать произведения iи j, iи k, jи k.Гамильтон исходил из того, что произведение кватернионов должно быть кватернионом и что кватернионы должны сохранять как можно больше свойств вещественных и комплексных чисел. Достичь желаемого ему удалось, приняв правила умножения:
jk = i, kj = −i,
ki = j, ik = −j,
ij = k, ji = −k.
Эти правила означают, что умножение кватернионов не коммутативно, т.е. если pи q— кватернионы, то pqне равно qp.Выполнимо и деление одного кватерниона на другой. Но поскольку умножение кватернионов не коммутативно, то разделить кватернион pна кватернион qозначает найти либо такой кватернион r,что р = qr,либо такой кватернион r,что p = rq.Частное r вэтих двух случаях не обязательно должно быть одним и тем же; поэтому их и записывают по-разному: в первом случае пишут r = q −1p,a во втором — pq −1. Хотя кватернионы не получили столь широкого применения, как рассчитывал Гамильтон, ему удалось с их помощью решить немало физических и геометрических задач.
На этой странице вы можете бесплатно читать книгу Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис бесплатно.
Похожие на Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис книги
- Современная философия – жертва неадекватного перевода западных философов - Иван Деревянко - Науки: разное
- Хочу, чтоб стало по-другому… - Д. Ман - Русская современная проза
- Из туземных хижин в музеи мира. Морис Стерн - Елена Мищенко - Биографии и Мемуары
- Элен и ребята. Часть вторая - Луи Бардо - Короткие любовные романы
- Апология математика - Годфри Гарольд Харди - Биографии и Мемуары / Математика / Науки: разное
