Форма входа
0/0
Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин
- Дата:15.04.2026
- Категория: Научные и научно-популярные книги / Математика
- Название: Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
- Автор: Альберт Рывкин
- Просмотров:0
- Комментариев:0
Уважаемые читатели!
Тут можно читать бесплатно Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн книги без регистрации и SMS на сайте Knigi-online.info (книги онлайн) или прочесть краткое содержание, описание, предисловие (аннотацию) от автора и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Описание онлайн-книги Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин:
Основу задачника составили варианты письменных работ по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в ряде ведущих вузов Москвы.Сборник содержит около 500 типовых задач. K каждой задаче дается до трех указаний, помогающих найти правильный путь к решению, а затем приводится подробное решение.Пособие может использоваться при самостоятельной подготовке к экзаменам в вуз, а также на подготовительных отделениях и курсах.
Математика
Аудиокнига "Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы"
📚 Эта аудиокнига представляет собой сборник задач по математике с подробными решениями, созданный специально для студентов, готовящихся к поступлению в вузы. В ней вы найдете множество интересных и полезных математических задач, которые помогут вам успешно справиться с экзаменами.
Автор книги - *Альберт Рывкин*. Он является опытным преподавателем математики с многолетним стажем и автором нескольких популярных учебников по математике. Его простой и понятный стиль изложения материала делает сложные темы доступными для всех.
На сайте knigi-online.info вы можете бесплатно и без регистрации слушать аудиокниги онлайн на русском языке. Здесь собраны лучшие бестселлеры различных жанров, включая математику. Погрузитесь в мир знаний и узнайте что-то новое с помощью аудиокниг!
Не упустите возможность подготовиться к экзаменам по математике с помощью аудиокниги "Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы"! Успехов в учебе! 🎓
Математика
Читем онлайн Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин
Шрифт:
-
+
Интервал:
-
+
Закладка:
Сделать
Осталось рассмотреть случай, когда а = 1. B этом случае получим систему
Так как правые части отличны от нуля, то разделим первое уравнение на второе, откуда x + y = 0. Поскольку условие x + y = 0 теперь автоматически выполняется для любого решения системы, то нужно убедиться, что y этой системы есть хотя бы одно решение. Таким решением является x = 1, y = −1. (Докажите.)
Ответ. ±1.
9.32. Так как система должна иметь хотя бы одно решение при любом b, то она должна иметь решение и при b = 0. Положив b = 0, получим систему
Первое уравнение удовлетворяется либо при а = 0 и любом x, либо при x = 0. Если x = 0, то из второго уравнения получаем а = 1. Итак, возможны только два значения: а = 0 и а = 1.
При а = 0 получаем систему
Первое уравнение имеет решение при любом b, только если y = 0. Однако это значение y не удовлетворяет второму уравнению.
Остается рассмотреть случай а = 1. Система примет вид
При любом b эта система имеет решение x = y = 0.
Ответ. 1.
9.33. Пусть (х1, у1) — решение системы. Тогда второе уравнение удовлетворяется еще тремя парами значений неизвестных (−x1, y1), (x1, −y1), (−x1, −y1). Легко убедиться, что первое уравнение наряду с (x1, y1) имеет также решение (x1, −y1):
Таким образом, система может иметь единственное решение лишь при условии, что y1 = −y1, т. е. y = 0. Подставим это значение y в систему. Из первого уравнения получим а = 0.
Выясним, достаточно ли условия а = 0 для единственности решения исходной системы. Если а = 0, то xy = 1, а это означает, что либо x = 1, y — любое число, либо x ≠ 0 — любое, y = 0. Значения параметра b должны быть такими, чтобы второму уравнению системы удовлетворяло только одно из решений первого. Если y = 0, то второе уравнение имеет единственное решение x = √b (по условию x > 0) при любом b > 0. Поэтому b нужно выбрать таким, чтобы исключить случай x = 1, т. е. таким, чтобы уравнение 1 + y² = b не имело действительных решений. Для этого необходимо и достаточно выполнение ограничения b < 1.
Если x = 1, то второе уравнение имеет единственное решение в том и только в том случае, если b = 1. При этом ему удовлетворяет единственное из решений первого уравнения: x = 1, y = 0.
Ответ. а = 0, 0 < b ≤ 1.
9.34. Умножим числитель и знаменатель дроби из второго уравнения на Полученное уравнение разделим на y, который тоже отличен от нуля, если входит в решение системы. Получим Исключим с помощью первого уравнения системы:
x²/y² − 2x/y + y² + 2x − 2y = 3.
Последнее уравнение перепишем в виде
x²/y² + 2x + y² − 2(x/y + y) = 3
Если x + y = z, то z² − 2z − 3 = 0, z1 = −1, z2 = 3. Первое уравнение данной системы можно записать в виде
Если откуда x = 0. Второе уравнение системы дает тогда два значения: y1 = 0, y2 = −1, где y = 0 не удовлетворяет первому уравнению. Если z = 3, то x = 4/3; второе уравнение системы после несложных преобразований принимает вид 3y²+ y + 4 = 0, т. е. не имеет действительных решений.
Проверка убеждает нас в том, что x = 0, y = −1 — единственное решение системы.
Ответ. (0, −1).
9.35. Запишем данное уравнение в виде
|6 − |x − 3| − |x + 1|| = а(x + 5) + 4. (10)
Построим график функции
y = |6 − |x − 3| − |x + 1||. (11)
Начнем с графика функции
y = 6 − |x − 3| − |x + 1|, (12)
который легко построить, разбив числовую ось на три интервала точками x = −1, x = 3 (рис. P.9.35).
Получим
Этот график совпадает с графиком функции (11) там, где значения y, полученные из (13), неотрицательны. Если же значения y, полученные из (13), отрицательны, то им соответствуют симметричные относительно оси Ox точки графика. Таким образом, для интервала −2 ≤ x ≤ 4 графики функций (11) и (12) совпадают, а при x < −2 и при x > 4 мы получаем симметричные относительно оси Ox лучи. В итоге для функции (11) имеем:
График этой функции изображен на рис. P.9.35 жирной линией (около каждого отрезка указан номер соответствующего ему уравнения).
Если подойти к задаче формально, то мы можем рассчитать точки пересечения прямой (19) — см. ниже — с каждой из прямых (14), (15), (16), (17), (18). Получим соответственно:
x1 = −5a + 8/a + 2, x2 = 5a/2 − a, x3 = −5a + 2/a, x4 = 4 − 5a/a + 2, x5 = 5a + 12/2 − a.
Рассмотрим теперь при разных значениях параметра а семейство прямых
y = а(x + 5) + 4 (19)
и определим, сколько точек пересечения y каждой из прямых (19) с графиком функции (13).
Тангенс угла наклона прямых (19) равен а и все эти прямые проходят через точку А(−5; 4). Обозначим на графике точки В(−2; 0), С(−1; 2), D(3; 2), E(4; 0), а также точки G и H, расположенные на левом и правом лучах графика (11) соответственно. Соединим точку А(−5; 4) с точками /(−2; 0), С(−1; 2), 1(3; 2) и E(4; 0). Проведем через точку А прямые AG1 || EH. Обозначим на каждой из проведенных нами через точку А прямых ее угловой коэффициент а: для AC имеем а = −2, для AB, AC, AE, AD и AH1 соответственно а принимает значения: −4/3, −½, −4/9, ¼, 2.
Теперь нетрудно подсчитать, при каких а какие решения имеет данное в условии уравнение. Получим
одно решение x1 при а < −2;
решений нет при −2 ≤ а < −4/3;
одно решение x1 = x2 при а = −4/3;
два решения x1, x2 при −4/3 < а < −½;
два решения x1, x2 = x3 при а = −½;
два решения x2, x3 при −½ < а < −4/9;
три решения x1, x3, x4 = x5 при а = −4/9;
четыре решения x1, x3, x4, x5 при −4/9 < а < −¼;
три решения x1, x3 = x4, x5 при а = −¼;
два решения x1, x5 при −¼ < а < 2;
одно решение x1 при а ≥ 2.
На этой странице вы можете бесплатно читать книгу Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин бесплатно.
Похожие на Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин книги
- Сказки народов мира - Автор Неизвестен -- Народные сказки - Детский фольклор / Прочее
- Сказки немецких писателей - Новалис - Зарубежные детские книги / Прочее
- Вiдслонити завiсу часу ! (на украинском языке) - Олесь Бердник - Научная Фантастика
- Разумный фитнес. Книга клиента - Тимур Беставишвили - Спорт
- Фантастика 2026-47 - Алексей Анатольевич Евтушенко - Боевая фантастика / Попаданцы
