Форма входа
0/0
Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис
- Дата:06.10.2025
- Категория: Научные и научно-популярные книги / Математика
- Название: Математика. Утрата определенности.
- Автор: Клайн Морис
- Просмотров:0
- Комментариев:0
Уважаемые читатели!
Тут можно читать бесплатно Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн книги без регистрации и SMS на сайте Knigi-online.info (книги онлайн) или прочесть краткое содержание, описание, предисловие (аннотацию) от автора и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Описание онлайн-книги Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис:
Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире. Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.
Аудиокнига "Математика. Утрата определенности."
📚 "Математика. Утрата определенности" - это увлекательное путешествие в мир математики, наполненное загадками и неожиданными открытиями. Главный герой книги, *Морис Клайн*, расскажет вам о том, как математика помогает нам понять окружающий мир и какие тайны скрывает в себе каждая формула.
В этой аудиокниге вы найдете ответы на множество вопросов, которые касаются математики, ее истории и применения в современном мире. *Морис Клайн* проведет вас через лабиринты чисел и символов, раскроет перед вами тайны геометрии и алгебры, поможет понять, как математика влияет на нашу повседневную жизнь.
🎧 Сайт knigi-online.info предлагает вам возможность бесплатно и без регистрации слушать аудиокниги онлайн на русском языке. Здесь собраны бестселлеры и лучшие произведения различных жанров, включая *Математику. Утрата определенности* Мориса Клайна.
Об авторе:
🖋 *Морис Клайн* - известный математик, преподаватель и популяризатор науки. Его книги о математике стали бестселлерами благодаря ясному изложению сложных тем и увлекательному стилю. Клайн прославился своими работами по истории математики и ее философским аспектам.
Не упустите возможность окунуться в увлекательный мир математики вместе с аудиокнигой *Математика. Утрата определенности.* Слушайте и погружайтесь в мир знаний!
🔗 Ссылка на категорию аудиокниги: Математика
Читем онлайн Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис
Шрифт:
-
+
Интервал:
-
+
Закладка:
Сделать
Доказать непротиворечивость гиперболической геометрии (гл. IV) оказалось не так просто. Но как непротиворечивость удвоенной эллиптической геометрии удалось доказать на модели — сферической поверхности, так и непротиворечивость гиперболической геометрии была доказана на модели — несколько более сложной поверхности трехмерного евклидова пространства, изучаемой в (евклидовой!) дифференциальной геометрии. Нам нет необходимости описывать эту модель (см., например, [48]). Заметим лишь, что непротиворечивость гиперболической геометрии означает помимо прочего независимость аксиомы Евклида о параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии. Действительно, если бы аксиома Евклида о параллельных не была независима от остальных аксиом евклидовой геометрии, т.е. если бы ее можно было вывести из них, то она была бы теоремойгиперболической геометрии, так как, за исключением аксиомы о параллельных, все остальные аксиомы гиперболической геометрии совпадают с аксиомами евклидовой геометрии. Но эта евклидова «теорема» противоречила бы аксиоме о параллельных гиперболической геометрии и гиперболическая геометрия была бы противоречивой. Следовательно, полуторавековые попытки вывести аксиому Евклида о параллельных (пятый постулат Евклида) из других аксиом евклидовой геометрии были заранее обречены на провал.
Неевклидовы геометрии, задуманные как «геометрии реального пространства», где прямая имеет тот же смысл (тот же вид, то же строение), что и в евклидовой геометрии, оказались применимыми к фигурам, совершенно отличным от тех, которые имели в виду создатели неевклидовых геометрий, и это важное обстоятельство имело серьезные последствия: неевклидовы геометрии получили совершенно различные интерпретации, ибо (как мы уже неоднократно отмечали) в любой аксиоматике должны быть неопределяемые понятия, которым в принципе можно придать какой угодно смысл — только бы удовлетворялись определяющие эти понятия аксиомы. Интерпретации неевклидовых геометрий получили название моделей. Таким образом, физический смысл той или иной математической теории оказался необязательным: одна и та же теория могла применяться к совершенно различным физическим или математическим ситуациям.
Непротиворечивость неевклидовых геометрий была доказана в предположении, что евклидова геометрия непротиворечива. У математиков 70-80-х годов прошлого века непротиворечивость евклидовой геометрии сомнений не вызывала. Несмотря на работы Гаусса, Лобачевского, Бойаи и Римана, евклидову геометрию продолжали считать естественной и непременной геометрией реального мира, а сама мысль о том, что геометрия реального мира может быть внутренне противоречивой, казалась нелепой. Тем не менее непротиворечивость евклидовой геометрии не была доказана логически.
Многие математики, относившиеся к неевклидовой геометрии почти презрительно, с удовлетворением восприняли доказательства непротиворечивости ее различных вариантов совсем по другой причине: дело в том, что хотя неевклидовы геометрии обретали смысл, но, как следовало из приведенных доказательств, лишь как модели, которые строились в рамках евклидовой геометрии. Это позволяло принять их как геометрии, реализуемые на тех или иных поверхностях, а не как геометрии, применимые к физическому миру, где прямые понимались в обычном смысле. Разумеется, подобный подход полностью противоречил взглядам Гаусса, Лобачевского и Римана (а в несколько ином смысле — и Бойаи).
Нерешенной оставалась лишь одна фундаментальная проблема, связанная с наведением строгости в математике: в основаниях евклидовой геометрии обнаружились изъяны. Однако в отличие от математического анализа природа геометрии и ее понятий была ясна. Установить неопределяемые термины, уточнить определения, восполнить недостающие аксиомы и завершить доказательства было сравнительно простой задачей. Она была решена независимо Морицем Пашем (1843-1930), Джузеппе Веронезе (1854-1917) и Марио Пиери (1860-1904). Давид Гильберт (1862-1943), по достоинству оценивший вклад Паша, предложил свой вариант аксиоматического построения евклидовой геометрии, который наиболее широко используется в наши дни. На едином дыхании он заложил основания неевклидовой геометрии Ламберта, Гаусса, Лобачевского и Бойаи, а также других геометрий, созданных в XIX в., главным образом проективной геометрии. {93}
Так, к началу XX в. математическая строгость восторжествовала в арифметике, алгебре, математическом анализе (начала которого базировались на аксиомах для целых чисел) и геометрии (на основе аксиом для точек, прямых и других геометрических объектов). Многих математиков соблазняла возможность пойти еще дальше и достроить на понятии числа всю геометрию — план, осуществимый с помощью аналитической геометрии. Сама геометрия как таковая по-прежнему не вызывала у них доверия. У математиков еще не изгладился из памяти один из уроков, преподанных им неевклидовой геометрией, которая выявила серьезные изъяны в евклидовой геометрии, считавшейся до сих пор образцом математической строгости. Однако к началу XX в. программа сведения всей геометрии к числу не была выполнена. Тем не менее большинство математиков того времени говорили об арифметизации геометрии, хотя правильнее было бы говорить об арифметизации математического анализа. Так, на II Международном конгрессе математиков, состоявшемся В 1900 г. в Париже, Пуанкаре утверждал: «На сегодняшний день в математическом анализе остались только целые числа, а также конечные и бесконечные системы целых чисел, связанных между собой системой отношений равенства или неравенства. Математика, можно сказать, арифметизована». Паскалю принадлежит следующее высказывание: «Tout ce qui passe la Géométrie nous passe» (все, что выходит за рамки Геометрии, выходит за рамки нашего понимания). В начале XX в. математики предпочитали говорить иначе: «Tout ce qui passe l'Arithmétique nous passe» (все, что выходит за рамки Арифметики, выходит за рамки нашего понимания).
Движения, первоначально ставившие перед собой довольно ограниченные цели, по мере своего разрастания нередко начинают охватывать гораздо более широкий круг проблем, чем ранее предполагалось. Критическое движение в области оснований математики со временем сделало мишенью своих атак и логику — законы мышления, используемые в математических доказательствах при переходе от одного заключения к другому.
Начало логике как науке было положено сочинением Аристотеля «Органон» (Инструмент [мышления], около 300 г. до н.э.) [см. прим. {38}к гл. IV]. По признанию Аристотеля, он выделил законы мышления, используемые математиками, абстрагировал их от частностей и обнаружил, что эти законы обладают универсальной применимостью. Так, один из фундаментальных законов аристотелевой логики, закон исключенного третьего,гласит: всякое имеющее смысл высказывание либо истинно, либо ложно. Закон исключенного третьего Аристотель мог абстрагировать, например, из такого математического утверждения, как «всякое целое число либо четно, либо нечетно». Логика Аристотеля в основном представляла собой силлогистику — набор правил о выводе новых утверждений из уже известных.
На протяжении более чем двух тысячелетий логика Аристотеля не вызывала возражений у мыслителей, в частности у математиков. Правда, Декарт, подвергавший сомнению любые убеждения и учения, задал вопрос: откуда нам известно, что законы логики правильны? И сам же ответил на него: господь бог не стал бы вводить нас в заблуждение. Так Декарт обосновал для себя всеобщую убежденность в правильности законов логики.
Декарт и Лейбниц надеялись, что им удастся расширить логику до универсальной науки о мышлении, применимой ко всем областям человеческого разума, — построить своего рода универсальное исчисление мышления. Они намеревались уточнить и облегчить применение законов мышления введением буквенной символики, подобной алгебраической. О математическом методе Декарт отзывался так: «Это более мощный инструмент познания, чем все остальные, что дала нам человеческая деятельность, ибо он служит источником всего остального».
На этой странице вы можете бесплатно читать книгу Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис бесплатно.
Похожие на Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис книги
- Современная философия – жертва неадекватного перевода западных философов - Иван Деревянко - Науки: разное
- Хочу, чтоб стало по-другому… - Д. Ман - Русская современная проза
- Из туземных хижин в музеи мира. Морис Стерн - Елена Мищенко - Биографии и Мемуары
- Элен и ребята. Часть вторая - Луи Бардо - Короткие любовные романы
- Апология математика - Годфри Гарольд Харди - Биографии и Мемуары / Математика / Науки: разное
