Форма входа
0/0
Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис
- Дата:06.10.2025
- Категория: Научные и научно-популярные книги / Математика
- Название: Математика. Утрата определенности.
- Автор: Клайн Морис
- Просмотров:0
- Комментариев:0
Уважаемые читатели!
Тут можно читать бесплатно Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн книги без регистрации и SMS на сайте Knigi-online.info (книги онлайн) или прочесть краткое содержание, описание, предисловие (аннотацию) от автора и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Описание онлайн-книги Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис:
Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире. Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.
Аудиокнига "Математика. Утрата определенности."
📚 "Математика. Утрата определенности" - это увлекательное путешествие в мир математики, наполненное загадками и неожиданными открытиями. Главный герой книги, *Морис Клайн*, расскажет вам о том, как математика помогает нам понять окружающий мир и какие тайны скрывает в себе каждая формула.
В этой аудиокниге вы найдете ответы на множество вопросов, которые касаются математики, ее истории и применения в современном мире. *Морис Клайн* проведет вас через лабиринты чисел и символов, раскроет перед вами тайны геометрии и алгебры, поможет понять, как математика влияет на нашу повседневную жизнь.
🎧 Сайт knigi-online.info предлагает вам возможность бесплатно и без регистрации слушать аудиокниги онлайн на русском языке. Здесь собраны бестселлеры и лучшие произведения различных жанров, включая *Математику. Утрата определенности* Мориса Клайна.
Об авторе:
🖋 *Морис Клайн* - известный математик, преподаватель и популяризатор науки. Его книги о математике стали бестселлерами благодаря ясному изложению сложных тем и увлекательному стилю. Клайн прославился своими работами по истории математики и ее философским аспектам.
Не упустите возможность окунуться в увлекательный мир математики вместе с аудиокнигой *Математика. Утрата определенности.* Слушайте и погружайтесь в мир знаний!
🔗 Ссылка на категорию аудиокниги: Математика
Читем онлайн Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис
Шрифт:
-
+
Интервал:
-
+
Закладка:
Сделать
Лейбниц также отметил все возрастающую главенствующую роль алгебры и по достоинству оценил эффективность алгебраических методов. По поводу замечаний некоторых математиков о том, что алгебраические утверждения не подкреплены доказательствами, Лейбниц счел нужным заявить: «Геометрам нередко удается несколькими словами выразить то, что требует громоздких рассуждений в анализе… применимость алгебры не вызывает сомнений, но с доказательностью у нее не все благополучно». Работу в современной ему алгебре Лейбниц назвал «смесью удачи и счастливого случая». Однако Леонард Эйлер в своем «Введении в анализ бесконечно малых» (1748) открыто и безоговорочно провозгласил превосходство алгебры над геометрическими методами греков. К середине XVIII в. сдержанное отношение к применению алгебры было окончательно преодолено. К тому времени алгебра напоминала раскидистое дерево с множеством ветвей, но почти полностью лишенное корней.
Развитие числовых систем и алгебры разительно отличается от развития геометрии. К III в. до н.э. геометрия имела уже дедуктивный характер. Немногие обнаружившиеся в ней пробелы и изъяны, как мы увидим в дальнейшем, оказались легко поправимыми. Что же касается арифметики и алгебры, то они никогда не были логически обоснованы. Казалось бы, отсутствие логического обоснования должно вызывать тревогу у всех математиков. Как могли европейцы, до тонкости изучившие дедуктивную геометрию греков, принять и применять различные типы чисел и алгебру, никогда не имевшие логического обоснования?
Можно назвать несколько причин. Основой принятия целых чисел и дробей, несомненно, был накопленный опыт. Когда же числовая система пополнилась новыми типами чисел, правила арифметических действий, принятые на эмпирической основе для положительных целых чисел и дробей, были распространены на новые элементы, а в случае затруднений на выручку безотказно приходило геометрическое мышление. Буквенные символы лишь заменяли числа — и поэтому с ними можно было обращаться так же, как с числами. Более сложные алгебраические методы казалисьобоснованными либо с помощью геометрических соображений типа тех, которые в свое время использовал Кардано, либо — в отдельных частных случаях — с помощью одной лишь индукции. Разумеется, ни тот, ни другой подход не был логически удовлетворительным. Геометрия даже в тех случаях, когда к ней обращались, не позволяла логически обосновать введение отрицательных, иррациональных и комплексных чисел. По очевидным причинам решение уравнения четвертой степени невозможно обосновать геометрически.
Кроме того, сначала, особенно в XVI-XVII вв., алгебру не считали независимой областью математики, которая нуждалась в особом логическом обосновании. Алгебру принято было рассматривать как метод анализа геометрических задач. Многие из тех, кто широко использовал алгебру, прежде всего Декарт, считали ее не более чем методом анализа. Название сочинений Кардано «Великое искусство» и Виета «Введение в аналитическое искусство» свидетельствуют о том, что их авторы использовали слово «искусство» в смысле, встречавшемся иногда и в наши дни, — как некую противоположность науке. Название «аналитическая геометрия», закрепившееся за координатной геометрией Декарта, подтверждает отношение к алгебре как к методу анализа. Еще в 1704 г. Эдмонд Галлей в статье, опубликованной в журнале Philosophical Transactions of the Royal Society,говорил об алгебре как об аналитическом искусстве. Но аналитическая геометрия Декарта стала, по-видимому, тем решающим доводом, который убедил математиков в могуществе алгебры.
Наконец, нельзя не упомянуть и о том, что использование для обработки результатов научных исследований отрицательных и иррациональных чисел, а также алгебры приводило к превосходному согласию с результатами наблюдений и экспериментов. Какие бы сомнения ни испытывали математики, применяя отрицательные числа в естественнонаучных исследованиях, все сомнения следовало отбросить, как только окончательный результат оказывался физически правильным: ведь математики заботились главным образом о естественнонаучных приложениях — и все, что доказывало свою полезность на деле, принималось без особого разбора. Запросы естествознания ставились превыше логической обоснованности. Сомнения в правильности алгебры были просто-напросто отметены, подобно тому как ненасытные промышленники зачастую отметали этические принципы; математики стали применять новую алгебру с радостью и уверенностью в своей правоте. Впоследствии математики шаг за шагом превратили алгебру в независимую науку, охватывающую и числа, и геометрию и позволяющую «доказывать» новые результаты. Так, Валлис утверждал, что алгебраические методы ничуть не менее законны, чем геометрические.
К концу XVII в. математики осознали, что арифметика и алгебра независимы от геометрии. Почему же математики не предприняли попыток логически обосновать и то, и другое? Почему, имея перед собой высокий образец дедуктивного изложения геометрии, воплощенный в «Началах» Евклида, математики не попытались изложить аналогичным образом арифметику и алгебру? Ответ состоит в том, что геометрические понятия, аксиомы и теоремы интуитивно воспринимаются намного легче, чем понятия арифметики и алгебры. Наглядные образы, «картинки» (в случае геометрии — чертежи), облегчают математику понимание той или иной структуры. Понятия же иррационального, отрицательного или комплексного числа отличаются большей тонкостью, и даже «картинки», которые появились здесь позднее, не позволяют прочувствовать логическую организацию самих чисел или буквенных выражений, оперирующих с числами. Проблема поиска логического обоснования числовой системы и алгебры была трудной, гораздо более трудной, чем могли себе представить математики XVII в. В дальнейшем (гл. VIII) нам еще представится случай вернуться к этой проблеме. К счастью, в вопросах логического обоснования арифметики и алгебры математики оказались скорее легковерными и даже наивными, чем излишне педантичными, — к счастью, ибо формализации и логическому обоснованию должен предшествовать период созидания, не стесняемого никакими ограничениями, а величайший период созидания в математике уже приближался.
VI
Нелогичное развитие: в трясине математического анализа
Начинать исследование можно по-разному. Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути.
Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь… На пути к истине мы почти всегда обречены совершать ошибки,
Дени Дидро
Математический анализ, ядро которого составляет дифференциальное и интегральное исчисление — самая тонкая область всей математики, — был построен на совсем не существующих логических основаниях арифметики и алгебры и на не вполне ясных основах евклидовой геометрии. Если вспомнить о замеченных нами недостатках в сравнительно простых разделах математики, то нетрудно представить себе, какого напряжения сил и способностей потребовало от математиков создание основной системы понятий и логической структуры дифференциального и интегрального исчисления. Именно так и обстояло дело в действительности.
В основе математического анализа лежит понятие функции.Не стремясь к особой строгости, функцию можно описать как зависимость между переменными. Поясним это на простом примере. Если, скажем, с крыши дома бросить мяч, то и расстояние, проходимое им в процессе падения, и время падения будут возрастать. Расстояние и время — переменные, а функция, связывающая расстояние и время (если пренебречь сопротивлением воздуха), определяется формулой d = 4,9t 2,где t— время падения (в секундах), а d— расстояние (в метрах), пройденное мячом за время tс момента падения.
На этой странице вы можете бесплатно читать книгу Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис бесплатно.
Похожие на Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис книги
- Современная философия – жертва неадекватного перевода западных философов - Иван Деревянко - Науки: разное
- Хочу, чтоб стало по-другому… - Д. Ман - Русская современная проза
- Из туземных хижин в музеи мира. Морис Стерн - Елена Мищенко - Биографии и Мемуары
- Элен и ребята. Часть вторая - Луи Бардо - Короткие любовные романы
- Апология математика - Годфри Гарольд Харди - Биографии и Мемуары / Математика / Науки: разное
