Форма входа
0/0
Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин
- Дата:15.04.2026
- Категория: Научные и научно-популярные книги / Математика
- Название: Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
- Автор: Альберт Рывкин
- Просмотров:0
- Комментариев:0
Уважаемые читатели!
Тут можно читать бесплатно Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн книги без регистрации и SMS на сайте Knigi-online.info (книги онлайн) или прочесть краткое содержание, описание, предисловие (аннотацию) от автора и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Описание онлайн-книги Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин:
Основу задачника составили варианты письменных работ по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в ряде ведущих вузов Москвы.Сборник содержит около 500 типовых задач. K каждой задаче дается до трех указаний, помогающих найти правильный путь к решению, а затем приводится подробное решение.Пособие может использоваться при самостоятельной подготовке к экзаменам в вуз, а также на подготовительных отделениях и курсах.
Математика
Аудиокнига "Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы"
📚 Эта аудиокнига представляет собой сборник задач по математике с подробными решениями, созданный специально для студентов, готовящихся к поступлению в вузы. В ней вы найдете множество интересных и полезных математических задач, которые помогут вам успешно справиться с экзаменами.
Автор книги - *Альберт Рывкин*. Он является опытным преподавателем математики с многолетним стажем и автором нескольких популярных учебников по математике. Его простой и понятный стиль изложения материала делает сложные темы доступными для всех.
На сайте knigi-online.info вы можете бесплатно и без регистрации слушать аудиокниги онлайн на русском языке. Здесь собраны лучшие бестселлеры различных жанров, включая математику. Погрузитесь в мир знаний и узнайте что-то новое с помощью аудиокниг!
Не упустите возможность подготовиться к экзаменам по математике с помощью аудиокниги "Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы"! Успехов в учебе! 🎓
Математика
Читем онлайн Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин
Шрифт:
-
+
Интервал:
-
+
Закладка:
Сделать
2.21. Для построения естественно воспользоваться обычным методом геометрических мест. Каждая вершина квадрата лежит на внешней половине окружности, построенной на стороне четырехугольника как на диаметре. Чтобы отыскать второе геометрическое место точек, которому принадлежат вершины, нужно выяснить, что связана какая-то из линий, определяющих вершины, с данным четырехугольником. Рассмотрите с этой целью диагональ квадрата.
2.22. Дан отрезок и известно, что его длина 7. Отрезок длины 1 не известен. Если бы он был дан, то отрезок длины √7 можно построить, как только мы построим отрезок длины √3. Затем построим гипотенузу прямоугольного треугольника со сторонами √3 и 2.
2.23. Решение можно искать только при одновременном выполнении условий:
K главе 3
3.1. Чтобы связать участвующие в задаче элементы, нужно отрезок ОА луча, перпендикулярного к ребру, спроецировать на другую полуплоскость. Проекцию ОВ этого отрезка спроецировать в отрезок ОС, лежащий на втором луче.
3.2. Чтобы связать данные углы с величиной угла, который нужно найти, следует спроецировать катеты треугольника на плоскость P и построить искомый угол.
3.3. При проецировании угла α на плоскость P возникает четырехгранный угол, в котором три плоских угла даны, а два двугранных угла прямые. Чтобы установить связь между плоскими углами, нужно пересечь этот четырехгранный угол плоскостью Q, перпендикулярной к плоскости P.
3.4. Если спроецировать искомую прямую, параллельную а, на плоскость, перпендикулярную к а, то мы получим точку. Спроецируйте на эту же плоскость три оставшиеся прямые.
3.5. Начать нужно с построения искомого угла. Для этого прямые AB и SC нужно перенести в одну точку. Если сместить прямую SC, то она «повиснет в воздухе» и угол, который мы получим, не будет связан с треугольником. Поэтому проведем через току C прямую CD, параллельную AB; угол SCD искомый.
3.6. Лучи Аx и Вy удобно расположить так, как показано на рис. I.3.6. Утверждение, что ОК = АО, равносильно утверждению, что АM = MK (рассмотрите прямоугольные треугольники ОАМ и OKM).
3.7. Если такое сечение четырехгранного угла существует, то в результате параллельного сдвига плоскости этого сечения мы получим новую плоскость, пересечение которой с четырехгранным углом — тоже параллелограмм. Поэтому строить сечение можно в любой точке ребра четырехгранного угла.
3.8. Если продолжить DE и BC до пересечения в точке F, то BD — средняя линия в треугольнике EFC (рис. I.3.8). Площадь треугольника DEА равна половине площади треугольника FEA.
3.9. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно определить высоту H пирамиды. Каждый из данных двугранных углов можно измерить с помощью линейного угла, опирающегося на высоту H. Остается использовать тот факт, что в основании лежит правильный треугольник.
3.10. Докажите, что высота, проведенная в треугольнике АDВ через вершину D, проходит через середину E основания AB. Тогда интересующий нас двугранный угол измеряется линейным углом DEC.
3.11. Условия задачи отражены на рис. I.3.11. Сторона а основания известна, так как известна площадь основания.
3.12. Аналогичное построение на плоскости приводит к образованию треугольника, подобного данному, с коэффициентом подобия ½. Поэтому и здесь следует постараться выяснить, подобны ли рассматриваемые тетраэдры.
3.13. Если О — центр шара, касающегося боковых граней пирамиды в точках О1, О2 и О3 (рис. I.3.13), то легко установить, что SB1 = SB2 = SB3. Если мы сумеем доказать равенство треугольников А2SВ1 и А2SВ3, то установим, что в основании пирамиды лежит правильный треугольник.
3.14. Достроить усеченную пирамиду до полной и рассмотреть высоты пирамид, имеющих три основания, о которых идет речь в условии.
3.15. Построить угол между скрещивающимися прямыми можно, если параллельно перенести их так, чтобы они проходили через одну точку. В качестве такой точки удобно выбрать вершину А основания пирамиды. Если мы достроим треугольник АВС, лежащий в основании, до параллелограмма АВСЕ (рисунок сделайте самостоятельно), то угол DАЕ будет искомым. Образовавшаяся в результате четырехугольная пирамида будет состоять из ребер данной длины, за исключением ребра DЕ.
3.16. Тетраэдр разбивается на две пирамиды с общим основанием — плоскостью сечения. Данное отношение объемов позволяет найти отношение высот этих пирамид и, следовательно, отношение синусов искомых углов.
3.17. Условия задачи отражены на рис. I.3.17. Нас интересует отношение площадей треугольников DАМ и DМS, в то время как все известные элементы сосредоточены в плоскости KSЕ. Поэтому нужно связать элементы треугольников DАМ и DМS с элементами треугольника KSЕ.
3.18. Использовать условие задачи, согласно которому высота пирамиды, опущенная из вершины D, проходит через точку пересечения высот основания АВС, с тем, чтобы доказать, что треугольники АDВ и АDС прямоугольные.
3.19. В пирамиде SАВС (рис. I.3.19) равнобедренные треугольники АSВ и АСВ равны. Следовательно, проведенные в них высоты из вершин S и С упадут в точку D — середину AB.
3.20. Если верхний из двух равных треугольников, лежащих один на другом в плоскости, начать вращать вокруг из общей стороны, то образованный ими двугранный угол может быть как острым, так и тупым. Поэтому придется рассмотреть два случая.
3.21. Если в основании АВС пирамиды провести высоту ВD, то отрезок SD разделит угол АSС пополам.
3.22. Покажите, что отрезки AB и CD взаимно перпендикулярны. Центр описанного шара лежит на их общем перпендикуляре KM, где K — середина СD, M — середина AB.
3.23. Расстояние от основания высоты до бокового ребра измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного на боковое ребро. Чтобы связать участвующие в задаче величины, нужно измерить двугранный угол α линейным углом, построенным в точке бокового ребра, которая является основанием этого перпендикуляра. Следовательно, придется построить сечение пирамиды, проходящее через основание высоты и перпендикулярное к боковому ребру пирамиды.
3.24. Чтобы в сечении получился квадрат, плоскость сечения необходимо провести так, чтобы она пересекала все четыре грани пирамиды (иначе мы получили бы в сечении треугольник). Докажите, что если KLNM — квадрат (рис. I.3.24), то плоскость KLNM параллельна двум скрещивающимся прямым AB и СD.
3.25. Для того чтобы найти наиболее рациональное решение задачи, поставьте пирамиду на одну из боковых граней (рис. I.3.25), а затем примените сравнение объемов.
3.26. Вписать в пирамиду куб значит расположить его так, чтобы нижнее основание куба лежало на основании пирамиды, а верхнее основание куба было вписано в треугольник, полученный в горизонтальном сечении пирамиды (рис. I.3.26).
3.27. K решению этой задачи удобно подойти аналитически, рассмотрев общий случай. Предположим, что в сечении образовался некоторый треугольник со сторонами а, b и с. Полезно рассмотреть пирамиду, в основании которой лежит этот треугольник, а вершиной является вершина трехгранного угла.
3.28. По условию задачи попарно равны именно те ребра тетраэдра, которые лежат на скрещивающихся прямых. Использовать это условие можно, если расположить тетраэдр так, чтобы ребро AB лежало в горизонтальной плоскости P, а ребро DС было параллельно этой плоскости.
На этой странице вы можете бесплатно читать книгу Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин бесплатно.
Похожие на Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - Альберт Рывкин книги
- Сказки народов мира - Автор Неизвестен -- Народные сказки - Детский фольклор / Прочее
- Сказки немецких писателей - Новалис - Зарубежные детские книги / Прочее
- Вiдслонити завiсу часу ! (на украинском языке) - Олесь Бердник - Научная Фантастика
- Разумный фитнес. Книга клиента - Тимур Беставишвили - Спорт
- Фантастика 2026-47 - Алексей Анатольевич Евтушенко - Боевая фантастика / Попаданцы
