Форма входа
0/0
Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис
- Дата:06.10.2025
- Категория: Научные и научно-популярные книги / Математика
- Название: Математика. Утрата определенности.
- Автор: Клайн Морис
- Просмотров:0
- Комментариев:0
Уважаемые читатели!
Тут можно читать бесплатно Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн книги без регистрации и SMS на сайте Knigi-online.info (книги онлайн) или прочесть краткое содержание, описание, предисловие (аннотацию) от автора и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Описание онлайн-книги Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис:
Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире. Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.
Аудиокнига "Математика. Утрата определенности."
📚 "Математика. Утрата определенности" - это увлекательное путешествие в мир математики, наполненное загадками и неожиданными открытиями. Главный герой книги, *Морис Клайн*, расскажет вам о том, как математика помогает нам понять окружающий мир и какие тайны скрывает в себе каждая формула.
В этой аудиокниге вы найдете ответы на множество вопросов, которые касаются математики, ее истории и применения в современном мире. *Морис Клайн* проведет вас через лабиринты чисел и символов, раскроет перед вами тайны геометрии и алгебры, поможет понять, как математика влияет на нашу повседневную жизнь.
🎧 Сайт knigi-online.info предлагает вам возможность бесплатно и без регистрации слушать аудиокниги онлайн на русском языке. Здесь собраны бестселлеры и лучшие произведения различных жанров, включая *Математику. Утрата определенности* Мориса Клайна.
Об авторе:
🖋 *Морис Клайн* - известный математик, преподаватель и популяризатор науки. Его книги о математике стали бестселлерами благодаря ясному изложению сложных тем и увлекательному стилю. Клайн прославился своими работами по истории математики и ее философским аспектам.
Не упустите возможность окунуться в увлекательный мир математики вместе с аудиокнигой *Математика. Утрата определенности.* Слушайте и погружайтесь в мир знаний!
🔗 Ссылка на категорию аудиокниги: Математика
Читем онлайн Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис
Шрифт:
-
+
Интервал:
-
+
Закладка:
Сделать
К сожалению, доказательства одного поколения воспринимаются другим поколением как ворох логических ошибок. Один из основоположников современной математики в США, Элиаким Гастингс Мур (1862-1932), выразил (1903) эту мысль так: «Любая наука, включая логику и математику, есть продукт своей эпохи. Наука воплощена в своих идеалах не в меньшей мере, чем в результатах». Век строгости короток — это всего лишь один день. В наше время понятие строгости зависит и от того, к какой школе принадлежит математик. Насколько можно судить, самого Уайлдера вполне устроило бы доказательство, не содержащее явных противоречий и к тому же полезное для математики. Например, он не стал бы возражать против понятия гипотезы континуума в качеству аксиомы. Не придавая особого значения доказательству, Уайлдер критиковал различные школы мышления за разобщенность. Разве не напоминает приверженность догматам одной школы в ущерб всем остальным фанатизм религиозных сектантов, провозглашающих своего бога истинным и отвергающих все остальные секты как заблудшие?
Мы не можем отрицать, что не существует ни абсолютного доказательства, ни даже доказательства, одинаково приемлемого для всех. Мы знаем, что если усомнимся в истинности утверждений, принятых на интуитивной основе, то сможем доказать их, лишь приняв на интуитивной же основе некие другие утверждения. Проверяя истинность утверждений, непосредственно воспринимаемых интуицией, мы не можем заходить слишком далеко, не рискуя столкнуться с парадоксами или другими неразрешенными трудностями, часть которых лежит в сфере логики. В начале XX в. знаменитый французский математик Жак Адамар высказал следующую мысль: «Цель математической строгости состоит в том, чтобы санкционировать и узаконить завоевания интуиции». Мы не можем теперь согласиться с Адамаром. Более уместно повторить вслед за Германом Вейлем: «Логика — это своего рода гигиена, позволяющая математику сохранять свои идеи здоровыми и сильными». Неверно утверждать, что доказательство не играет никакой роли: оно сводит к минимуму риск противоречий.
Нельзя не признать, что абсолютное доказательство не реальность, а цель. К ней следует стремиться, но скорее всего она так никогда и не будет достигнута. Абсолютное доказательство не более чем призрак, вечно преследуемый и неизменно ускользающий. Мы должны неустанно укреплять то доказательство, которым располагаем, не надеясь на то, что нам удастся довести его до совершенства. Мораль всей истории развития математического доказательства сводится к следующему: хотя мы и стремимся к недостижимой цели, нам, возможно, удастся произвести чудесные ценности, которые математике случалось дарить миру в прошлом. Если мы изменим свое отношение к математике, то сможем более эффективно заниматься ею, несмотря на постигшее нас разочарование.
Осознание того, что в обосновании математических истин главную роль играет интуиция, а доказательству отводится лишь вспомогательная роль, означает, что математика в своем развитии описала полный круг. Математика начиналась на интуитивной и эмпирической основе. Начиная с древних греков доказательство стало целью математической деятельности, и, хотя до XIX в. эта цель пребывала в почетной отставке, в конце XIX в. математикам показалось, что они сумели достичь ее. Но попытки довести математическую строгость до пределов возможного завели математиков в тупик: логика нанесла поражение логике, подобно собаке, кусающей себя за хвост. В «Мыслях» Паскаля мы находим следующее признание: «Сила разума в том, что он признает существование множества явлений, ему непостижимых» {170}([119], с. 157).
Кант также признавал ограниченность человеческого разума. В его «Критике чистого разума» есть такие строки:
На долю человеческого разума в одном из видов его познания выпала странная судьба: его осаждают вопросы, от которых он не может уклониться, так как они навязаны ему собственной природой; но в то же время он не может ответить на них, так как они превосходят возможности человеческого разума.
([18], т. 3, с. 73.)Близкую мысль высказал знаменитый испанский писатель и философ Мигель де Унамуно (1864-1936) в «Трагическом смысле жизни»: «Высшего триумфа разум достигает, когда ему удается заронить сомнение в собственной годности».
Более пессимистических взглядов на роль логики придерживался Герман Вейль. В 1940 г. он утверждал: «Несмотря на наше критическое озарение (а может быть, благодаря ему), мы сегодня менее, чем когда-либо раньше, уверены в основаниях, на которых зиждется математика». В 1944 г. Вейль развил свою мысль подробнее:
Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный окончательный ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.
Как сказал Вейль, математика — это вид умственной деятельности, а не свод точных знаний. Математику лучше всего рассматривать в исторической перспективе. Рациональные конструкции и реконструкции оснований при таком подходе предстают перед нами лишь как попытки исказить историческую правду.
Наиболее крайние взгляды выразил в своей книге «Логика научного исследования» [120] Карл Поппер. Математическое рассуждение никогда не бывает верным, оно может быть только ошибочным. Было бы опрометчивым поручиться и за истинность математических теорем. Существующей математической теорией можно продолжать пользоваться за неимением лучшей, подобно тому как пользовались ньютоновской механикой в течение двух столетий до появления специальной теории относительности или как пользовались евклидовой геометрией до того, как была создана риманова геометрия. Уверенность в правильности математической теории недостижима.
Как свидетельствует история, не существует раз и навсегда заданного, обоснованного единого свода математических знаний. Кроме того, если история позволяет делать какие-то прогнозы, то можно сказать, что любые дополнения к существующей математике потребуют новых оснований. В этом отношении математика схожа с любой из физических наук. Физические теории приходится модернизировать и перестраивать всякий раз, когда новые наблюдения или новые экспериментальные данные вступают в противоречие с ранее установленными теориями и вынуждают формулировать новые. Математическую истину невозможно описать безотносительно ко времени. Все попытки построить математику на незыблемом основании заканчивались неудачей. Непрекращающиеся попытки — от Евклида через Вейерштрасса до современных школ в основаниях — подвести под математику прочный фундамент не дают ни малейшего повода надеяться на эволюционный прогресс, сулящий конечный успех.
Изложенные выше взгляды на роль интуиции и доказательства отражают точку зрения на современную математику, но не учитывают всех мнений о будущем. Взгляд на логику был подтвержден группой французских математиков, выступающих под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки. В предисловии к первому тому «Элементов математики» Бурбаки пишет:
Как показывает анализ исторического развития математики, было бы неверно утверждать, что математика свободна от противоречий; непротиворечивость предстает как цель, к которой следует стремиться, как некое данное богом качество, ниспосланное нам раз и навсегда. С древнейших времен все критические пересмотры принципов математики в целом или любой из ее областей почти неизменно сменялись периодами неопределенности, когда появлялись противоречия и их приходилось решать… Вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в будущее спокойно.
([2], с. 30.)На этой странице вы можете бесплатно читать книгу Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис бесплатно.
Похожие на Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис книги
- Современная философия – жертва неадекватного перевода западных философов - Иван Деревянко - Науки: разное
- Хочу, чтоб стало по-другому… - Д. Ман - Русская современная проза
- Из туземных хижин в музеи мира. Морис Стерн - Елена Мищенко - Биографии и Мемуары
- Элен и ребята. Часть вторая - Луи Бардо - Короткие любовные романы
- Апология математика - Годфри Гарольд Харди - Биографии и Мемуары / Математика / Науки: разное
